Le triangle de Pascal

Le triangle arithmétique de Pascal est le triangle dont la ligne d'indice n (n = 0, 1, 2...) donne les coefficients binomiaux Cnp pour p = 0, 1, 2..., n.

Construction de ce triangle de Pascal :

  • on part de 1 à la première ligne, par convention c'est la ligne zéro (n = 0)
  • Pour avoir un terme de la ligne suivante, on prend le terme juste au-dessus, et on lui additionne celui qui est juste avant, (0 si il n'y a rien).

Mathématiquement, on applique la formule : C(N,P)=COEFF (N,P)= COEFF (N-1,P-1) + COEFF (N-1,P)

pascal_triangle_animation

 

triangle pascal coeff

 

Utilisation du triangle de Pascal.

Coefficients du développement de (a + b)n.

Les coefficients du triangle de Pascal sont les coefficients du développement de (a + b)n.

C'est à dire :

(a+b)n = C(n,0) anb0 + C(n,1) an-1b1 + C(n,2) an-2b2 + C(n,3) an-3b3 + C(n,4) an-4b4 +.... C(n,n) a0bn

Par exemple :

  • La ligne 0 est : 1  soit le coefficient de :(a + b)0 = 1.
  • La ligne 1 est : 1 - 1 soit les coefficients de : (a + b)1 = 1×a + 1×b.
  • La ligne 2 est : 1 - 2 - 1, soit les coefficients de : (a + b)² = 1×a² + 2×ab + 1×b².
  • La ligne 3 est : 1 - 3 - 3 - 1, soit les coefficients de : (a + b)3 = 1×a3 + 3×a²b +3×ab²+ 1×b3.
  • La ligne 4 est : 1 - 4 - 6 - 4 - 1, soit les coefficients de : (a + b)4 = 1×a4 + 4×a3b +6×a²b² + 4×ab3 + 1×b4.
  • La ligne 5 est : 1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1, soit les coefficients de : (a + b)5 = 1×a5 + 5×a4b+ 10×a3b² + 10×a²b3 + 5×ab4 + 1×b5.

triangle pascal polyn

En analyse combinatoire.

Les nombres Cnp correspondent, en analyse combinatoire, au nombre de façons de tirer p objets parmi n.

Par exemple :

  • La ligne 5 est : 1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1 donc
  • C50 = 1   : Il y a 1 seule façon de tirer 0 objet parmi 5.
  • C51 = 5   : Il y a 5 façons de tirer 1 objet parmi 5.
  • C52 = 10 : Il y a 10 façons de tirer 2 objets parmi 5.
  • C53 = 10 : Il y a 10 façons de tirer 3 objets parmi 5.
  • C54 = 5  : Il y a 5 façons de tirer 4 objets parmi 5.
  • C55 = 1  : Il y a 1 seule façon de tirer 5 objets parmi 5.

Le triangle de Pascal Suite de Fibonacci

Remarquer que ...

pascal_fibonacci