Le triangle arithmétique de Pascal est le triangle dont la ligne d’indice n (n = 0, 1, 2…) donne les coefficients binomiaux C_n^p pour p = 0, 1, 2…, n.

Construction de ce triangle de Pascal :

• on part de 1 à la première ligne, par convention c’est la ligne zéro (n = 0)
• Pour avoir un terme de la ligne suivante, on prend le terme juste au-dessus, et on lui additionne celui qui est juste avant, (0 si il n’y a rien).

Mathématiquement, on applique la formule : C(N,P)=COEFF (N,P)= COEFF (N-1,P-1) + COEFF (N-1,P)

 

 

Utilisation du triangle de Pascal.

Coefficients du développement de (a + b)^n.

Les coefficients du triangle de Pascal sont les coefficients du développement de (a + b)^n.

C’est à dire :

(a+b)ⁿ = C(n,0) aⁿb⁰ + C(n,1) a^n-1b¹ + C(n,2) a^n-2b² + C(n,3) a^n-3b³ + C(n,4) a^n-4b⁴ +…. C(n,n) a⁰bⁿ

Par exemple :

• La ligne 0 est : 1  soit le coefficient de :(a + b)⁰ = 1.
• La ligne 1 est : 1 – 1 soit les coefficients de : (a + b)¹ = 1×a + 1×b.
• La ligne 2 est : 1 – 2 – 1, soit les coefficients de : (a + b)² = 1×a² + 2×ab + 1×b².
• La ligne 3 est : 1 – 3 – 3 – 1, soit les coefficients de : (a + b)³ = 1×a³ + 3×a²b +3×ab²+ 1×b³.
• La ligne 4 est : 1 – 4 – 6 – 4 – 1, soit les coefficients de : (a + b)⁴ = 1×a⁴ + 4×a³b +6×a²b² + 4×ab³ + 1×b⁴.
• La ligne 5 est : 1 – 5 – 10 – 10 – 5 – 1, soit les coefficients de : (a + b)⁵ = 1×a⁵ + 5×a⁴b+ 10×a³b² + 10×a²b³ + 5×ab⁴ + 1×b⁵.

En analyse combinatoire.

Les nombres C_n^p correspondent, en analyse combinatoire, au nombre de façons de tirer p objets parmi n.

Par exemple :

• La ligne 5 est : 1 – 5 – 10 – 10 – 5 – 1 donc
• C₅⁰ = 1   : Il y a 1 seule façon de tirer 0 objet parmi 5.
• C₅¹ = 5   : Il y a 5 façons de tirer 1 objet parmi 5.
• C₅² = 10 : Il y a 10 façons de tirer 2 objets parmi 5.
• C₅³ = 10 : Il y a 10 façons de tirer 3 objets parmi 5.
• C₅⁴ = 5  : Il y a 5 façons de tirer 4 objets parmi 5.
• C₅⁵ = 1  : Il y a 1 seule façon de tirer 5 objets parmi 5.

Le triangle de Pascal Suite de Fibonacci

Remarquer que …