Référence du projet: ANR-19-CE40-0011

Ce projet concerne le développement de nouvelles méthodes mathématiques et numériques pour la résolution de problèmes d'optimisation topologique pour les transferts de chaleur dans les fluides. Ces problèmes correspondent à des problèmes d'optimisation ou les contraintes sont données par des équations aux dérivées partielles et visent à trouver la localisation et les caractéristiques d'un matériau afin d'améliorer un phénomène physique donné. Les applications de ce type de problème sont nombreuses aussi bien en ingénierie que dans les sciences appliquées. Un exemple important, par rapport à la situation géographique de l’île de la Réunion, concerne la création d'ouvrant pour une pièce d'un bâtiment afin de maximiser la circulation d'air au sein d'un lieu spécifique afin de se passer de l'utilisation d'air
conditionnée. Au vu de ce type d'application, le présent projet concernera donc plus particulièrement les problèmes d'optimisation topologique pour les transferts de chaleur au sein d'un fluide avec prise en compte de la convection naturelle et/ou forcée.
Classiquement, la localisation du solide au sein du fluide est réalisée en ajoutant un terme de pénalisation dans les équations de Navier-Stokes. Ce dernier ne prenant idéalement que deux valeurs, 0 pour le fluide et l'infini pour le solide, est alors interpolé continûment en introduisant une nouvelle variable. Cela permet de restituer l'existence d'au moins un optimum au problème d'optimisation et aussi de favoriser l'utilisation d'algorithmes à base de gradient pour la résolution numérique du problème d'optimisation topologique. La méthode de l'adjoint est principalement utilisée pour la résolution de tels problèmes car elle permet de calculer le gradient d'une fonction coût donnée en résolvant le problème dit "direct" (donné par les contraintes) et un problème dit "adjoint" ayant le même nombre d'inconnues que le problème direct.

Nous avons identifié dans l'état de l'art deux difficultés importantes à surmonter. Premièrement, la méthode de l'adjoint devient prohibitive en terme de coût et de temps de calculs lorsque les équations définissant les contraintes du problème d'optimisation sont instationnaires. Des algorithmes parallèles en temps, tel que par exemple le "local-in-time adjoint method", sont toutefois utilisés mais l'analyse mathématique de leur convergence n'a pas encore été étudiée. Deuxièmement, la majeure partie des travaux d'optimisation topologique en mécanique des fluides ne concernent que l'obtention de solide optimaux ayant des conductivités thermiques constantes. Les rares travaux visant l'obtention de solides dont les conductivités sont anisotropes et/ou dépendantes de la variable d'espace ne permettent d'avoir que des conductivités constantes par morceaux et nécessitent d'introduire une variable d'optimisation supplémentaire par constante ce qui rend ces techniques inutilisables pour le cas des conductivités dépendant fortement de la variable d'espace.

Ce projet est donc structuré autour de deux tâches qui ont été identifiées comme des progrès potentiels par rapport à l'état de l'art actuel.
La première concernera le développement et l'analyse de la convergence d'algorithmes parallèles en temps pour des problèmes d'optimisation topologique pour des écoulements instationnaires modélisés par les équations de Navier-Stokes sous l'hypothèse de Boussinesq couplées à une équation d'énergie. La seconde concernera la possibilité d'obtenir des matériaux possédant des conductivités thermiques anisotropes et/ou dépendantes de la variable d'espace en se basant sur des techniques d'interpolation fluide/solide ne souffrant pas des limites des méthodes actuellement utilisées.